12. Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa $a$. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę $45°$. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi $\frac{2}{3}$ objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna $ABC$ zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $\alpha =60°$. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się $8\sqrt{3}$. Zaznacz na poniższym rysunku kąt $\alpha$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: $H$ – wysokość ostrosłupa oraz $\alpha$ – miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ($45°<\alpha <90°$).

a) Wykaż, że objętość $V$ tego ostrosłupa jest równa $\frac{4}{3}\cdot \frac{H^3}{{\mathrm{tg}}^2\alpha -1}$.
b) Oblicz miarę kąta $\alpha$, dla której objętość $V$ danego ostrosłupa jest równa $\frac{2}{9}{H}^3$. Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz cosinus tego kąta.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2\alpha$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $12\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. W trójkącie równoramiennym $ASC$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $|AC|:|AS|=6:5$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

W ostrosłupie trójkątnym $ABCS$ o podstawie $ABC$ i wierzchołku $S$ dane są:
$|AB|=|AC|=|SB|=|SC|=9$ i $|AS|=|BC|=8$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$. Krawędź $AS$ jest wysokością ostrosłupa oraz $|AS|=8\sqrt{210}$, $|BS|=118$, $|CS|=131$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AB|=30$, $|BC|=|AC|=39$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W ostrosłupie $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a$. Krawędź $AS$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka $A$ od ściany $BCS$ jest równa $d$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt $ABC$. Kąt nachylenia krawędzi bocznej $AS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi $AS$ i $BS$ zawartymi w ścianie bocznej $ASB$ tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz cosinus tego kąta.

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego $ABCS$, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku długości 25. Ściany boczne $ABS$ i $BCS$ mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne $ADS$ i $CDS$ też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne $AS$ i $CS$ mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $2\alpha$. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest trapez $ABCD$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $8\sqrt{3}$, jest prostopadła do ramienia $BC$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ tego trapezu kąt o mierze $30°$. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość $4\sqrt{5}$. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $SD$.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości 2. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $BC$. Płaszczyzna $AHP$ przecina krawędź $CG$ w punkcie $R$ (zobacz rysunek). Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty $A$, $H$, $R$ i $P$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120°$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Trójkąt $ABC$ jest podstawą prawidłowego ostrosłupa $ABCS$, którego krawędź boczna ma długość 10. Punkt $D$ jest środkiem wysokości $SO$ ostrosłupa oraz $|AD|=2\sqrt{13}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $SP$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach $\frac{\pi }{3}$ i $\alpha$. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy $\frac{\sqrt{6}}{4}$. Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

Podstawą ostrosłupa $ABCD$ jest trójkąt równoramienny o podstawie $|AB|=b$ i kącie $\alpha$ pomiędzy ramionami. Krawędź $CD$ jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany $ABD$ do podstawy ostrosłupa jest równy $\beta$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $S$ i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość $\frac{4\sqrt{3}}{3}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $AB$, a punkt $N$ jest środkiem odcinka $BC$. Trójkąt $MNS$ jest równoboczny i jego bok ma długość $m$. Oblicz objętość ostrosłupa $ABCDS$ i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt $ABCD$, którego boki mają długości $|AB|=32$ i $|BC|=18$. Ściany boczne $ABS$ i $CDS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $\alpha$. Ściany boczne $BCS$ i $ADS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\beta$. Miary kątów $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek: $\alpha +\beta =90°$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości 6. Na krawędziach bocznych $BS$ i $CS$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$, takie, że $|BD|=|CE|$ oraz $|DE|=4$ (zobacz rysunek). Płaszczyzna $ADE$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $BCS$ ostrosłupa. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego $ABCDS$ jest trapez $ABCD$ ($AB\parallel CD$). Ramiona tego trapezu mają długości $|AD|=10$ i $|BC|=16$, a miara kąta $ABC$ jest równa $30°$. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$, taki, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{9}{2}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta $AFB$.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości 2. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $CFS$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2\alpha$. Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k\cdot P^3\cdot \sin \alpha \cdot \cos (2\alpha )}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik $k$. Zapisz obliczenia.

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin \alpha =\frac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe 26,4. Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$. Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości 6. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek). Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\frac{\sqrt{11}}{6}$. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDE$ punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $ABCD$ do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy 1:5. Przez przekątną $AC$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $BE$ poprowadzono płaszczyznę (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $BSO$ (w zaokrągleniu do $1°$). Zapisz obliczenia.

Wskazówka.

Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona 34).

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $CG$ tego sześcianu (zobacz rysunek obok). Oblicz odległość wierzchołka $C$ od płaszczyzny zawierającej punkty $B$, $D$ oraz $P$.

Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt $S$ pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie $P$ położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości $H_0$ metrów n.p.m. Chcą dotrzeć do bazy $B$ znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości $H_1$ metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości $H_2$ metrów n.p.m. (patrz rysunek 1.). Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć do bazy.

Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia $\alpha$.

*Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu $P$ do $B$ na wycinku koła.*

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi (\sqrt{3}+1)$. Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\left(-\frac{9}{25}\right)$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCD$ o podstawie $ABC$. Płaszczyzna zawierająca krawędź $AB$ podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej $CD$ przecina tę krawędź w punkcie $E$, przy czym $\frac{|CE|}{|DE|}=\frac{3}{11}$. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy $ABC$. Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ ma objętość równą $36\sqrt{3}$. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną $\gamma$, która: