10. Planimetria

Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość $\sqrt{41}$ cm, oblicz pole tego trapezu.

Odcinki o długościach: $2\sqrt{3}$, $3-\sqrt{3}$, $3\sqrt{2}$ są bokami trójkąta.

a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Na okręgu o promieniu $r$ opisano trapez równoramienny $ABCD$ o dłuższej podstawie $AB$ i krótszej $CD$. Punkt styczności $S$ dzieli ramię $BC$ tak, że $\frac{|CS|}{|SB|}=\frac{2}{5}$.

a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus $|\angle CBD|$.

Trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle BCA|=90°$ i $|\angle CAB|=30°$, jest opisany na okręgu o promieniu $\sqrt{3}$.

Oblicz odległość wierzchołka $C$ trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

Dany jest trójkąt o bokach długości $1$, $\frac{3}{2}$, $2$.

Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.

Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi $\frac{\pi \sqrt{3}}{8}$.

Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.

W czworokącie wypukłym $ABCD$ dane są: $|AB|=2$, $|BC|=\sqrt{3}$, $|CD|=3$, $|DA|=4$ i $|\angle DAB|=60°$.

Oblicz pole tego czworokąta.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości: $|BC|=9$, $|CA|=12$. Na boku $AB$ wybrano punkt $D$ tak, że odcinki $BC$ i $CD$ mają równe długości.

Oblicz długość odcinka $AD$.

Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia.

Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

**Odcinek $CD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $ACB$ trójkąta $ABC$. Kąty trójkąta $ABC$ mają miary: $|\angle CAB|=42°$, $|\angle ABC|=78°$. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta $CDE$.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość 8 oraz $|\angle BAC|=30°$.

Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $|AC|=5$ i $|AB|=8$. Pole tego trójkąta jest równe $10\sqrt{3}$.

Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB|=a$, $|BC|=b$ i $a>b$. Odcinek $AE$ jest wysokością trójkąta $DAB$ opuszczoną na jego bok $BD$. Wyraź pole trójkąta $AED$ za pomocą $a$ i $b$.

W czworokącie $ABCD$ dane są długości boków: $|AB|=24$, $|CD|=15$, $|AD|=7$. Ponadto kąty $DAB$ oraz $BCD$ są proste.

Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=17$ i $|BC|=10$. Na boku $AB$ leży punkt $D$ taki, że $|AD|:|DB|=3:4$ oraz $|DC|=10$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$.

W równoległoboku $ABCD$ miara kąta ostrego jest równa $30°$, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe 2 i $\sqrt{3}$.

Oblicz długość krótszej przekątnej tego równoległoboku.

Dane są trzy okręgi o środkach $A$, $B$, $C$ i promieniach równych odpowiednio $r$, $2r$, $3r$. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie $K$, drugi z trzecim w punkcie $L$ i trzeci z pierwszym w punkcie $M$.

Oblicz stosunek pola trójkąta $KLM$ do pola trójkąta $ABC$.

W czworokąt $ABCD$, w którym $|AD|=5\sqrt{3}$ i $|CD|=6$, można wpisać okrąg. Przekątna $BD$ tworzy z bokiem $AB$ czworokąta kąt o mierze $60°$, natomiast z bokiem $AD$ tworzy kąt, którego sinus jest równy $\frac{3}{4}$.

Wyznacz długości boków $AB$ i $BC$ oraz długość przekątnej $BD$ tego czworokąta.

Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB|=2$, $|BC|=3$, $|CD|=4$, $|DA|=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg.

Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

Na boku $AB$ trójkąta równobocznego $ABC$ wybrano punkt $D$ taki, że $|AD|:|DB|=2:3$.

Oblicz tangens kąta $ACD$.

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg.

Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=10$, $|\angle ACB|=120°$. Na boku $CB$ obrano punkt $P$ dzielący ten bok w stosunku $3:2$ (licząc od punktu $C$).

Oblicz sinus kąta $PAB$.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10.

Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$.

Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$, w którym $|AD|=|AB|=|BC|=a$, $|\angle BAD|=60°$ i $|\angle ADC|=135°$.

Oblicz pole czworokąta $ABCD$.

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość 10, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $CD$.

Oblicz pole tego trapezu.

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ oraz $|AC|=16$, $|AD|=6$, $|CD|=14$ i $|BC|=|BD|$.

Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2°$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)$-kąta foremnego.

Oblicz $n$.

W trójkącie równoramiennym $ABC$: $|AC|=|BC|=10$, a miara kąta $ABC$ jest równa $30°$. Na boku $BC$ wybrano punkt $P$, taki, że $\frac{|BP|}{|PC|}=\frac{2}{3}$.

Oblicz sinus kąta $\alpha$ (zobacz rysunek).

Dany jest romb $ABCD$. Przez wierzchołki $B$ i $D$ poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki $CD$ i $AB$ – odpowiednio – w punktach $M$ i $N$, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury $AND$, $NBMD$, $BCM$ o równych polach. Ponadto wiadomo, że $|MB|=|ND|=|BD|$ (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R=5\sqrt{2}$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne $BAD$ i $ADC$ czworokąta $ABCD$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\frac{3}{8}$.

Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

Na okręgu jest opisany czworokąt $ABCD$. Bok $AD$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $AB$, a przekątna $BD$ ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:
$\cos (\angle ADB)=\frac{7}{8},|\angle BCD|=90°\text{oraz}|AB|>\sqrt{15}.$

Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Na szczycie wieży o wysokości $h$ umieszczono pionowo antenę radiową stacji nadawczej o długości $l$ ($l>h$). Punkt $O$ leży na płaszczyźnie poziomej przechodzącej przez podnóże wieży, a punkt $A$ znajduje się na końcu anteny. Koniec anteny $A$ widać z punktu $O$ pod dwukrotnie większym kątem niż wieżę (zobacz rysunek).

W trapezie $ABCD$ przekątna $BD$ jest dwusieczną kąta $CBA$ i przecina przekątną $AC$ w punkcie $K$, takim że $|CK|:|KA|=1:3$. Pole tego trapezu jest równe $100(\sqrt{6}-\sqrt{2})$, $\sin \angle BAD=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $|AD|=10$ oraz kąt $BAD$ jest ostry.

Oblicz długości pozostałych boków trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|>|CD|$ oraz ramię $BC$ ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu $R=5$. Miary kątów $BAC$ i $ABC$ tego trapezu spełniają warunek
$\frac{\sin |\angle BAC|}{\sin |\angle ABC|}=\frac{5}{8}.$
Oblicz pole i obwód trapezu $ABCD$.

Zapisz obliczenia.

Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60°$, natomiast z bokiem $AB$ – kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$. Oblicz obwód czworokąta $ABCD$.

Zapisz obliczenia.

Promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok $AC$, a długości dwóch pozostałych boków są równe $|AB|=30$ oraz $|BC|=17$.

Oblicz miarę kąta $BAC$ oraz długość boku $AC$ tego trójkąta.

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa 6. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$.

Zapisz obliczenia.

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Oblicz miarę kąta $DAC$.

Zapisz obliczenia.

Na czworokącie wypukłym $ABCD$ o bokach długości: $|AB|=3$, $|BC|=3$, $|CD|=5$ oraz $|DA|=8$, opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

Zapisz obliczenia.

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe 18. Boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe, a ponadto $|AB|=4$ oraz $|BC|=7$.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.