14. Dowody geometryczne

W trójkącie prostokątnym $ABC$ ($\angle BCA=90°$) dane są długości przyprostokątnych: $|BC|=a$ i $|CA|=b$. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną $AB$ w punkcie $D$.

Wykaż, że długość odcinka $CD$ jest równa $\frac{a\cdot b}{a+b}\cdot \sqrt{2}$. Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$ niebędący równoległobokiem. Punkty $M$, $N$ są odpowiednio środkami boków $AB$ i $CD$. Punkty $P$, $Q$ są odpowiednio środkami przekątnych $AC$ i $BD$.

Uzasadnij, że $MQ\parallel PN$.

Przekątne trapezu $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt $P$, przecina ramiona $AD$ i $BC$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$.

Wykaż, że $|MP|=|NP|$.

Trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu o promieniu $r$.

Wykaż, że $4r^2=|AB|\cdot |CD|$.

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $CAB$, $ABC$ i $BCA$ tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$.

Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $ASB$, $ASC$ i $BSC$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Wykaż, że jeżeli $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ są kątami wewnętrznymi trójkąta i ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta <{\sin }^2\gamma$, to $\cos \gamma <0$.

Punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ prostokąta $ABCD$, w którym $|AB|>|BC|$. Punkt $F$ leży na boku $CD$ tego prostokąta oraz $|\angle AEF|=90°$.

Udowodnij, że $|\angle BAE|=|\angle EAF|$.

O trapezie $ABCD$ wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – w podanej kolejności – tworzą ciąg geometryczny.

Uzasadnij, że trapez $ABCD$ jest rombem.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|BC|=a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $BD$ do boku $AC$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BD$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $BC$ w punkcie $P$.

Wykaż, że długość odcinka $CP$ jest równa $\frac{2}{3}a$.

W trapez $ABCD$ wpisano okrąg o środku $S$. Okrąg ten jest styczny do ramion $AD$ i $BC$ tego trapezu w punktach odpowiednio $P$ i $Q$ (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt $ASD$ jest prostokątny. Wykaż, że $|AP|\cdot |DP|=|BQ|\cdot |CQ|$.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$, w którym: $|AB|=|BC|$, $|\angle DAB|=45°$, $|\angle ABC|=150°$, $|\angle BCD|=60°$.

Wykaż, że trójkąt $BCD$ jest równoboczny.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $|\angle ABC|=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$.

Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa $\frac{2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}$.

W trójkącie $ABC$ kąt $BAC$ jest dwa razy większy od kąta $ABC$.

Wykaż, że prawdziwa jest równość $|BC{|}^2-|AC{|}^2=|AB|\cdot |AC|$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na ramieniu $AC$ tego trójkąta wybrano punkt $M$ ($M\ne A$ i $M\ne C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$, w taki sposób, że $|AM|=|CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$.

Udowodnij, że $|ST|=\frac{1}{2}|AB|$.

Dwusieczne kątów $BAD$ i $BCD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $E$, przy czym punkty $B$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AC$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\angle ABC|-|\angle ADC|+2\cdot |\angle AEC|=360°$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC|=|LC|=2$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}$.

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty $A$, $B$, $C$ i $D$.

Wykaż, że jeżeli $|\angle ADB|=|\angle ACB|$, to $|\angle BAC|=|\angle BDC|$.

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty – odpowiednio – $D$ i $E$ takie, że $|BD|=|AE|=\frac{1}{3}|AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta $DBP$ jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$.

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG\parallel EC$ oraz $FH\parallel EC$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$, to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$.

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o 2 mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$.

Wykaż, że spełniony jest warunek

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $BC$ i $AD$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie $B^{\prime }$, a prosta równoległa do boku $AD$ przecina bok $AB$ w punkcie $A^{\prime }$.

Wykaż, że $|A{A}^{\prime }|=|B{B}^{\prime }|$.

Trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, jest wpisany w okrąg o promieniu $R$. Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta $ABC$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$.

Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem $P(x)=(R+x)\sqrt{R^2-x^2}$. Określ dziedzinę tej funkcji.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $BC$, $AC$ i $AB$ tego trójkąta w punktach – odpowiednio – $K$, $L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach $CLPK$ oraz $BKPM$ można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90°$ oraz $|\angle CAB|=60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.

Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $|AQ|=5\cdot |BP|$ oraz $|CD|=2\cdot |BD|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $S$.

Wykaż, że jeżeli $\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}$, to na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek
$|AC{|}^2=|BC{|}^2+|AB|\cdot |BC|$

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $b$, przy czym $a>b$. W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a\cdot b$.

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$. Ramię $BC$ trapezu ma długość 5. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu 2. Punkt $P$ jest punktem styczności okręgu i dłuższej podstawy $AB$ tego trapezu (zobacz rysunek).

Wykaż, że trójkąty $BPS$ i $BSC$ są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego podobieństwa.

Okrąg $O$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<|AM|<|AN|<|AB|$.

Wykaż, że jeśli $|AM|=|BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac{1}{2}$.

Wykaż, że $\frac{|CD|}{|AB|}=\frac{1}{5}$.

Dany jest prostokąt $ABCD$, w którym $|AB|=2\cdot |AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – $K$, $L$, $M$ oraz $N$ (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta $ABCD$). Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy 16.

Punkty $K$ i $L$ są środkami – odpowiednio – boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Prosta $p$ jest prostopadła do boku $BC$ i przecina ten bok w punkcie $L$. Ta prosta przecina wysokość $CD$ w punkcie $K$ oraz przecina bok $AC$ w punkcie różnym od $A$.

Wykaż, że $|\angle CAK|=|\angle KDL|$.