11. Geometria analityczna

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu $(x-16{)}^2+y^2=4$ jest okrąg o równaniu $(x-6{)}^2+(y-4{)}^2=16$, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu $y=x^2$, a drugi na prostej o równaniu $y=2x-6$. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od $\sqrt{5}$.

Sporządź odpowiedni rysunek.

Środek okręgu przechodzącego przez punkty $A=(1,4)$ i $B=(-6,3)$ leży na osi $Ox$.

a) Wyznacz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $AB$ i oddalonej od początku układu współrzędnych o $\sqrt{2}$.

W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=4$ oraz zaznacz punkt $A=(0,-1)$. Prosta o równaniu $x=0$ jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt $A$.

Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt $A$.

Punkt $A=(-2,5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok $BC$ jest zawarty w prostej o równaniu $y=x+1$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Punkt $A=(2,-3)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym 300. Punkt $S=(3,4)$ jest środkiem symetrii tego rombu.

Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

**Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A=(2,0)$.

Punkty $A=(-5,5)$, $C=(8,6)$ są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$. Prosta o równaniu $y=2x$ jest osią symetrii tego trapezu.

Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ oraz pole tego trapezu.

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=(0,2)$ i $B=(2,0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=(1,a)$, gdzie $a>1$.

Wyznacz równanie prostej $l$.

Prosta o równaniu $3x-4y-36=0$ przecina okrąg o środku $S=(3,12)$ w punktach $A$ i $B$. Długość odcinka $AB$ jest równa 40.

Wyznacz równanie tego okręgu.

Punkty $A=(2,0)$ i $B=(4,2)$ leżą na okręgu o równaniu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10$.

Wyznacz na tym okręgu taki punkt $C$, aby trójkąt $ABC$ był trójkątem równoramiennym o podstawie $AB$.

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A=(0,2\sqrt{3})$, $B=(2,0)$, a $C$ leży na osi $Ox$.

Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$.

Odcinek $AB$ o długości 4 jest zawarty w prostej o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$. Symetralna odcinka $AB$ przecina oś $Oy$ w punkcie $P=(0,6)$.

Oblicz współrzędne końców odcinka $AB$.

Dany jest okrąg $o_0$ o równaniu $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=1$. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych istnieją dwa okręgi $o_1$, $o_2$ styczne zewnętrznie do okręgu $o_0$ jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych.

Oblicz odległość środków okręgów $o_1$ oraz $o_2$.

**Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu $x^2+y^2+4x-6y-3=0$ i zarazem prostopadłych do prostej $x+2y-6=0$.

Prosta o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{61}{14}$ jest styczna do okręgu o środku $S=(1,-4)$.

Wyznacz promień tego okręgu.

Punkt $M=(5,6)$ jest środkiem ramienia $BC$ trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Podstawa $AB$ tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{1}{3}x+1$ oraz $A=(-3,0)$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których wykresy funkcji $f$ i $g$, określonych wzorami $f(x)=x-2$ oraz $g(x)=5-ax$, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Punkty $A=(30,32)$ i $B=(0,8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x-y+2=0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $AC$.

Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

Punkty $A=(-7,-2)$ i $B=(4,-7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$, a wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x+19y+52=0$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

**Wyznacz równania stycznych do okręgu $x^2+y^2+12x+4y+36=0$, przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3y+1=0$.

Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8,2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36.

Wyznacz równanie prostej $l$.

Punkt $A=(7,-1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^2+y^2=10$.

Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $ABC$ leżą na osi $Oy$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $AB$, $BC$ i $CA$ w punktach – odpowiednio – $P=(0,10)$, $Q=(8,6)$ i $R=(9,13)$.

Oblicz współrzędne wierzchołków $A$, $B$ i $C$ tego trójkąta.

**Dane są okręgi o równaniach $x^2+y^2-12x-8y+43=0$ i $x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Rozważ wszystkie przypadki.

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu 90. Przekątna $BD$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$.

Wyznacz długość boku tego rombu.

Prosta o równaniu $x+y-10=0$ przecina okrąg o równaniu $x^2+y^2-8x-6y+8=0$ w punktach $K$ i $L$. Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $KL$.

Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k=-3$.

Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym 82,5. Przekątna $BD$ tego rombu zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2x-y-5=0$.

Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y=x+b$, $y=x+2b$, $y=b$, $y=2$, gdzie liczba rzeczywista $b$ spełnia warunki: $b\ne 2$ i $b\ne 0$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.

Prosta przechodząca przez punkty $A=(8,-6)$ i $B=(5,15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O=(0,0)$.

Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $AB$.

Dane są parabola o równaniu $y=x^2$ oraz punkty $A=(0,2)$ i $B=(1,3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$.

a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcję zmiennej $m$.
b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

Dane są prosta $k$ o równaniu $x-2y=0$ i prosta $l$ o równaniu $2x+y-1=0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=x+4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$.

Oblicz współrzędne punktu $P$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $A=(9,12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$. Prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{2}x$ zawiera dwusieczną kąta $ABC$ tego trójkąta. Okrąg $O$ o równaniu $(x-8{)}^2+(y-4{)}^2=16$ jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $O$.

Zapisz obliczenia.

Punkt $A=(-3,2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y=x-1$.

Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Dane są okrąg $o_1$ o równaniu $(x-6{)}^2+(y-4{)}^2=98$ oraz okrąg $o_2$ o promieniu $2\sqrt{5}$. Środki okręgów $o_1$ i $o_2$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y=-3x-6$, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$.

Wyznacz równanie okręgu $o_2$.

Rozwiąż układ równań

Zapisz obliczenia.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są dwie proste $l_1$ oraz $l_2$. Kąt między tymi prostymi ma miarę $45°$. Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej $l_1$ jest równy $\frac{2}{3}$.

Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej $l_2$. Zapisz obliczenia.

Prosta $k$ o równaniu $x+y-9=0$ przecina parabolę o równaniu $y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$ w punktach $A$ oraz $B$. Pierwsza współrzędna punktu $A$ jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu $B$ jest liczbą ujemną. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i styczna do danej paraboli w punkcie $C$. Oblicz odległość punktu $C$ od prostej $k$ oraz pole trójkąta $ABC$.

Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $O$. Punkt $C$ leży na okręgu $O$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne punktu $C$.

Zapisz obliczenia.

W okrąg o równaniu $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ wpisano trójkąt $ABC$. Bok $AB$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4x-3y+2=0$. Wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ tak, że $|AD|=4\cdot |DB|$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Zapisz obliczenia.

Okrąg $o_1$ o środku w punkcie $S_1$ jest określony równaniem $(x-6{)}^2+(y+1{)}^2=16$. Okrąg $o_2$ ma środek w punkcie $S_2$ takim, że $\overrightarrow{S_1{S}_2}=[-4,4]$. Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura $F$ składa się z dwóch okręgów: $o_1$ oraz $o_2$. Punkty $M$ i $N$ są punktami przecięcia figury $F$ z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.

Wyznacz punkt $K$, leżący na jednej z osi symetrii figury $F$, taki, że pole trójkąta $MNK$ jest równe 40.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki.

Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^2-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\frac{9\sqrt{10}}{5}$. Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku.

Zapisz obliczenia.

Proste o równaniach $2x+y-4m-4=0$ i $x-3y+5m+5=0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $(x_P,y_P)$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których współrzędne punktu $P$ spełniają warunki:

Trapez $ABCD$ jest wpisany w okrąg o równaniu

Oblicz sinus kąta $ABC$.

Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem takim, że

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: okrąg o równaniu $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=50$ i punkty $A=(6,4)$ oraz $B=(-6,8)$. Punkt $C$ leży na tym okręgu i $|AC|=|BC|$. Oblicz współrzędne punktu $C$. Rozważ wszystkie przypadki.

Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $O_1$ oraz $O_2$ o równaniach:

Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A=(-8,-1)$ i $D=(-13,9)$ oraz środku symetrii $M=\left(-\frac{9}{2},1\right)$. Okrąg $O$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki $AB$ i $BC$ tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $O$ jest liczbą ujemną. Wyznacz równanie okręgu $O$.

Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.