6. Granica ciągu, suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ wyraża się wzorem $S_n=2n^2+n$ dla $n\ge 1$.

a) Oblicz sumę $50$ początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: $a_2+a_4+a_6+\dots +a_{100}$.

b) Oblicz $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{3n^2-2}$.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{n^2}{n+2}-\frac{(n+2{)}^2}{n+444}\right)$

Niech $P_n$ oznacza pole koła o promieniu $\frac{1}{2^n}$, dla $n\ge 1$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(P_n)$.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right)$

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n={\left(\frac{1}{2x-371}\right)}^n$ dla $n\ge 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_1+a_2+a_3+\dots$ jest zbieżny.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla $n\ge 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równna $12$.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(o_n)$ o równaniach $x^2+y^2=2^{11-n}$, $n\ge 1$. Niech $P_k$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznie okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznie okręgiem $o_{2k}$.

Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_k$, gdzie $k\ge 1$.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right)$

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równa $2$, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $3$.

Oblicz iloraz ciągu $(a_n)$.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\frac{(3n+2{)}^2-(1-2n{)}^2}{(2n-1{)}^2}$

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równna $7$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równna $8$.

Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność
$\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|<0,001$
gdzie $S_n$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wzorem
$a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}$
gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_n)$ jest równna $\frac{4}{3}$.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_1=675$ i $a_{22}=\frac{5}{4}{a}_{23}+\frac{1}{5}{a}_{21}$. Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równna sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$. Ponadto $a_3=b_4$.

Oblicz $b_1$.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, którego iloraz $q$ jest równny pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q|<1$. Stosunek sumy $S_N$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_P$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równny różnicy tych sum, tj. $\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P$.

Oblicz $q$.

Określamy kwadraty $K_1,K_2,K_3,\dots$ następująco: $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$; $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$; i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2$, $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\frac{4n^3-2n+1}{3n^3-n^2-2n+3}$

Dany jest nieskończony szereg geometryczny
$2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1{)}^2}-\frac{54x}{(x-1{)}^3}+\dots$
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od $0$ i od $1$), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równna $\frac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równna $16$, tj.
$a_1+a_3+a_5+\dots =16$
Ponadto $a_1+a_3=\frac{5}{2}\cdot a_2$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{6^n+7^n}$

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, jest spełniony warunek
$\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{29}{25}$
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równna $6$.

Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem
$a_n=(n+5{)}^2\cdot \left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)\text{dla }n\ge 1$
Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu jest równna $12$.

Oblicz granicę
${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+3+5+7+\dots +(2n+1)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}$
gdzie $1+3+5+7+\dots +(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę

Zapisz obliczenia.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równna $14$. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równna $392$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.