16. Optymalizacja

Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę $120°$.

Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe.

Oblicz to pole.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa.

Oblicz objętość tego stożka.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa.

Oblicz tę objętość.

Prosta $l$, na której leży punkt $A=(2,5)$, przecina parabolę o równaniu $y=x^2$ w dwóch różnych punktach $B=(x_1,y_1)$, $C=(x_2,y_2)$.

Oblicz wartość współczynnika kierunkowego prostej $l$, przy której suma $y_1+y_2$ osiągnie wartość najmniejszą.

Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}{x}^2$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punktach $A=(-2,0)$ i $B=(2,0)$. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $ABCD$, których dłuższą podstawą jest odcinek $AB$, a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu $ABCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka $C$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe $2\pi$. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość.

Podaj tę największą objętość.

Dany jest odcinek $AB$ o długości 10. Rozpatrujemy wszystkie sześciokąty foremne $ACDMEF$ i trójkąty równoboczne $MBG$, których wspólny wierzchołek $M$ leży na odcinku $AB$ (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek obwodu sześciokąta $ACDMEF$ do obwodu trójkąta $MBG$ w przypadku, gdy suma pól tych dwóch wielokątów jest najmniejsza.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa.

Oblicz tę największą objętość.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1:2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa 2.

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $V=2$. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Oblicz to najmniejsze pole.

Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_1$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_2$ i promieniu $2x$, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

Pole trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ można obliczyć ze wzoru Herona $P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $S{S}_1{S}_2$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm${}^2$.

Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości 2. Na bokach $BC$ i $CD$ tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty $P$ i $Q$, takie, że długość odcinka $|PC|=|QD|=x$ (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość $x$, dla której pole trójkąta $APQ$ osiąga wartość najmniejszą.

Oblicz to najmniejsze pole.

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa $d$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość.

Oblicz tę największą objętość.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\frac{9}{x^4}$ dla $x\ne 0$. Punkt $C$ ma współrzędne $\left(0,-\frac{1}{3}\right)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $Oy$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $ABC$ jest najmniejsze.

Oblicz to najmniejsze pole.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m${}^3$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m${}^2$ dna
– 75 zł za 1 m${}^2$ ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym 4. Niech $x=|AC|$.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem

$P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek). Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}$.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Dany jest okrąg o promieniu $R$. Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:

Znajdź trójkąt o możliwie największym polu przy zadanych warunkach. Oblicz jego pole. Zapisz obliczenia.

Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach 10 cm × 16 cm, odcinając z każdego rogu kwadrat o boku $x$ cm (zobacz rysunek).

Dom $D$ stoi w odległości 5 km od prostoliniowego odcinka drogi. W chwili początkowej Janusz znajduje się na tej drodze w punkcie $A$ oddalonym od domu $D$ o 13 km (zobacz rysunek). Janusz może iść drogą z maksymalną prędkością 5 km/h, zaś poza nią może poruszać się z maksymalną prędkością 3 km/h.

Ciężarówka ma do pokonania trasę długości $S$ km, poruszając się po autostradzie ze stałą prędkością $v$ km/h. Minimalna prędkość dla ciężarówek na autostradzie wynosi 40 km/h, maksymalna – 80 km/h. Wiemy, że litr paliwa kosztuje 8 złotych, a kierowca otrzymuje 42 złote za godzinę swej pracy. Zużycie paliwa w ciągu jednej godziny jazdy autostradą w zależności od prędkości $v$ wyrażone w litrach można opisać funkcją $f(v)=7+\frac{v^2}{400}$.

Oblicz, przy jakiej prędkości koszt przejazdu będzie najmniejszy. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że koszt przejazdu jest sumą kosztu paliwa oraz wynagrodzenia kierowcy.

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480+x)$ litrów dziennie przeciętny koszt $K$ (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy
$K(x)=\frac{22x^2-621,5x+23430}{480+x},\text{ gdzie }x\in [0,50].$
Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Rozważamy trójkąty $ABC$, w których $A=(0,0)$, $B=(m,0)$, gdzie $m\in (4,+\infty )$, a wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-2x$. Na boku $BC$ tego trójkąta leży punkt $D=(3,2)$.

a) Wykaż, że dla $m\in (4,+\infty )$ pole $P$ trójkąta $ABC$, jako funkcja zmiennej $m$, wyraża się wzorem
$P(m)=\frac{m^2}{m-4}$.

b) Oblicz tę wartość $m$, dla której funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej $BC$, przy której funkcja $P$ osiąga tę najmniejszą wartość.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

Firma $X$ wytwarza pewien produkt $D$. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu $D$, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący:
$P(Q)=90-0,1Q\text{ dla }Q\in [0,900]$
gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ – ilością produktu w tys. sztuk. Koszty $K$ wytworzenia produktu $D$ zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco:
$K(Q)=0,002Q^3+Q^2+29,9985Q+50$
gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.

Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma $X$ osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in (-\infty ,8)$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt{3}$.

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.