15. Granice i pochodne

Wyznacz te wartości parametrów $a$ oraz $b$, przy których funkcja $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, określona wzorem
$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+a}{x-2}& \text{dla }x\ne 2\\ b& \text{dla }x=2\end{array}$
jest ciągła w punkcie $x=2$.

Sprawdź, czy funkcja $f$ określona wzorem
$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x(x-1)(x-2)}{x^2-3x+2}& \text{dla }x\ne 1\text{ i }x\ne 2\\ 1& \text{dla }x=1\\ 3& \text{dla }x=2\end{array}$
jest ciągła w punktach $x=1$ i $x=2$.

Sformułuj odpowiedź.

Rysunek obok przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej $W(x)$ stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby $(-2)$ oraz $1$, a pochodna $W^{\prime }(-2)=18$.

a) Wyznacz wzór wielomianu $W(x)$.

b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej $x=3$.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji $f$.

a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja $f$ jest malejąca.

b) Wyznacz wartość $x$, dla której funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne. Odpowiedź uzasadnij.

c) Wiedząc, że punkt $A=(1,2)$ należy do wykresu funkcji $f$, napisz równanie stycznej do krzywej $f$ w punkcie $A$.

W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja $f$ ma następujące własności:
- jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
- $f$ jest funkcją nieparzystą,
- $f$ jest funkcją ciągłą
oraz:
$f^{\prime }(x)<0$ dla $x\in (-8,-3)$,
$f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in (-3,-1)$,
$f^{\prime }(x)<0$ dla $x\in (-1,0)$,
$f^{\prime }(-3)=f^{\prime }(-1)=0$,
$f(-8)=0$, $f(-3)=-2$, $f(-2)=0$, $f(-1)=1$.

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji $f$ w przedziale $⟨-8,8⟩$, wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.

Uczeń analizował własności funkcji $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną $f^{\prime }(x)$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$. Wyniki tej analizy zapisał w tabeli.

Niestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd.

a) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy.

b) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli, zawarte w niej dane pozwolą określić dokładną liczbę miejsc zerowych funkcji.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 4$.

Oblicz pochodną funkcji $f$ w punkcie $x=12$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f$, która jest równoległa do prostej $y=4x+7$.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=x^3-2x^2+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=4x$.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Wyznacz równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie $P=(1,0)$.

Styczna do paraboli o równaniu $y=\sqrt{3}{x}^2-1$ w punkcie $P=(x_0,y_0)$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30°$.

Oblicz współrzędne punktu $P$.

Punkt $P=(10,2429)$ leży na paraboli o równaniu $y=2x^2+x+2219$. Prosta o równaniu kierunkowym $y=ax+b$ jest styczna do tej paraboli w punkcie $P$.

Oblicz współczynnik $b$.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{25x^2-9}{x^2+2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Oblicz wartość $f^{\prime }(10)$ pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{x^3+k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$.

Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y=-x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 1$.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(-3,-3)$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej $x$.

Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe dodatnie mniejsze od 3.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\sqrt{1+4x}$ dla $x\in \left[-\frac{1}{4},+\infty \right)$.

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_0=2$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4-2x^3+x^2-1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\in [-1,3]$.

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}$
dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=(x_0,3)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x$
dla każdej liczby dodatniej $x$.

Zadanie 1.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie $81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x$ można równoważnie przekształcić do postaci $x^4+x^2-6x$.

Zadanie 2.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^4+x^2-6x$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^3-4x^2+9x$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$. Punkt $P=(x_0,18)$ należy do wykresu funkcji $f$.

Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę.
${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x^3-8}{(x-2{)}^2}$
Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x}$
dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.

Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę.
${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{|x-3|}{x^2-9}$
Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$
dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 4$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(x_0,5)$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.

Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=\frac{3x}{x+1}\text{ dla kaz˙dego }x\in (-1,+\infty ).$
Wykaż, że $f$ jest funkcją rosnącą.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=\frac{2x-3}{x+2}+4{\log }_{\frac{1}{2}}x\text{ dla wszystkich }x>0.$
Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału $\left[\frac{1}{2},4\right]$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=x^4+0,5\cdot (2x+1{)}^4\text{ dla kaz˙dego }x\in \mathbb{R}.$
Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=x^6-2x^4-x^3+1\text{ dla kaz˙dego }x\in \mathbb{R}.$
Wykaż, że liczba 5 należy do zbioru wartości tej funkcji.

Wykaż, że równanie
$x^4-7x^3+9x^2+8x-2=0$
ma w przedziale $(-2,2)$ co najmniej dwa różne rozwiązania.

Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określony wzorem $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, gdzie $a,b,c\in \mathbb{R}$. Liczba $(-2)$ jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ styczna do wykresu wielomianu $f$ w punkcie $A$ o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$ przecina ten wykres w punkcie $P=(1,9)$.

Wyznacz wzór wielomianu $f$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{a{x}^2+x}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 1$.

Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których pochodna funkcji $f$ w punkcie $x=a$ jest równa $\left(-\frac{1}{2}a\right)$. Zapisz obliczenia.