13. Dowody algebraiczne

Wykaż, że nierówność $\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}}\ge \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $a$ i $b$.

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^6-2k^4+k^2$ jest podzielna przez $36$.

Uzasadnij, że jeżeli $a\ne b$, $a\ne c$, $b\ne c$ i $a+b=2c$, to $\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2$.

Udowodnij, że jeżeli $a+b\ge 0$, to prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^{2}b+a{b}^2$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$, $c$ i $d$ prawdziwa jest nierówność $ac+bd\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}$.

Wykaż, że prawdziwa jest równość $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$.

Uzasadnij, że jeżeli $2a+b\ge 0$, to $2a^3+b^3\ge 3a^{2}b$.

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $(x+1)\frac{x}{y}+(y+1)\frac{y}{x}>2$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x(x-1)+y(y-1)\ge xy-1$.

Wykaż, że jeżeli $a>b\ge 1$, to $\frac{a}{2+a^3}<\frac{b}{2+b^3}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4-x^2-2x+3>0$.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $1$ oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ różnej od $1$ prawdziwa jest równość

Niech $a={\log }_{12}2$. Wykaż, że ${\log }_{6}64=\frac{6a}{1-a}$.

Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby $a$ i dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby $b$ spełniona jest równość

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^2+y^2=2$, prawdziwa jest nierówność $x+y\le 2$.

Wykaż, że dla $a,b,c,d>0$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a+b}\cdot \sqrt{c+d}\ge \sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

Wykaż, że jeśli $a$, $b$, $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że $a+b+c=0$, to $3(a^2+b^2+c^2)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2{y}^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2+y^2-4xy+6x+9\ge 0$.

Wykaż, że dla $a={\log }_{\frac{1}{5}}3+{\log }_5\sqrt{27}$ i $b={\log }_{5}3-{\log }_5\sqrt[3]{3}$ prawdziwa jest równość $\frac{b}{a}=\frac{16}{9}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^{3}m-k{m}^3$ jest podzielna przez $6$.

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ i $b$ takie, że $a>b$, spełniają warunek

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x<y$, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$, prawdziwa jest nierówność $\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2$.

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5-3n^4-n+19$ jest podzielne przez $16$.

Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają równość $a^2+2a=4b^2+4b$.

Wykaż, że $a=2b$.

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5-3n^4-n+3$ jest podzielne przez $16$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od $2$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2-6xy+3y^2-2x-4>0$.

Niech ${\log }_{2}18=c$. Wykaż, że ${\log }_{3}4=\frac{4}{c-1}$.

Niech ${\log }_{2}9=c$. Wykaż, że ${\log }_{3}54=\frac{3c+2}{c}$.

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez $4$ jest liczbą podzielną przez $36$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\ne y$, spełniona jest nierówność $x^4+y^4>xy(x^2+y^2)$.

Liczby $a$, $b$, $c$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej 7. Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby 7.

Wykaż, że iloczyn $a\cdot b\cdot c$ jest podzielny przez 294.

Niech $a$, $b$ będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość $2a^2+a=3b^2+b$.

Wykaż, że jeśli 5 jest dzielnikiem liczby $a-b$, to 25 również jest dzielnikiem liczby $a-b$.

Rozpatrzmy liczby naturalne większe od 1000, w których zapisie występuje tylko cyfra 1:

Wykaż, że jeśli liczba $a$ zapisana za pomocą $n$ jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba $n$ również jest liczbą pierwszą.

Suma liczb całkowitych $x$ i $y$ jest podzielna przez 3.

Wykaż, że suma sześcianów liczb $x$ i $y$ jest podzielna przez 9.

Niech $a$, $b$, $c$ będą takimi liczbami całkowitymi, że $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0$.

Wykaż, że $a=b=c=0$.

Wykaż, że liczba $a=(\sqrt{5}+2{)}^{2022}+(\sqrt{5}-2{)}^{2022}$ jest wymierna.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ prawdziwe są nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $y$, spełniających warunek $x+y\ge 1$, prawdziwa jest nierówność

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3$.

Wykaż, że $x=2$ oraz $y=2$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność

Wykaż, że jeżeli ${\log }_{5}4=a$ oraz ${\log }_{4}3=b$, to ${\log }_{12}80=\frac{2a+1}{a\cdot (1+b)}$.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $a+b=1$, prawdziwa jest nierówność

Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$.

Wykaż, że układ równań

Wykaż, że

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\ne \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność

Wykaż, że jeżeli $a={\log }_{2}14$ oraz $b={\log }_{\sqrt{2}}27$, to ${\log }_{7}54=\frac{b+2}{2a-2}$.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność