3. Funkcje logarytmiczne, wykładnicze oraz wymierne

Porównaj liczby $a^b$ oraz $b^a$, gdzie
$a={\left[{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(2+\sqrt{3}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^2,b=\frac{81^{-1}\cdot \sqrt{3}}{27^{-2}\cdot \sqrt[4]{9}}.$

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{|x+3|+|x-3|}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{|x+2|}{x-1}-\frac{x-2}{|x-1|}+3$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 1$. Wyznacz zbiór jej wartości.

Rozwiąż nierówność ${\left(\frac{1}{x}-1\right)}^{-1}\le 1$. Zapisz obliczenia.

Dla pewnych liczb rzeczywistych $a>1$, $b>1$ i $N>1$ jest spełniona równość
${\log }_{a^{2}b}N=\frac{3}{20}\cdot \left({\log }_{a}N+{\log }_{b}N\right).$
Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia ${\log }_{a}b$.

Rozwiąż nierówność

$\frac{2x-1}{1-x}\le \frac{2+2x}{5x}$

Zapisz obliczenia.

Dane są liczby $a={\log }_{2}3$ oraz $b={\log }_{3}7$.

Wyraź ${\log }_{4}49$ za pomocą liczb $a$ oraz $b$. Zapisz obliczenia.

Oblicz wartość wyrażenia

Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność

Zapisz obliczenia.

Dane są funkcje $k$ oraz $p$. Funkcja $k$ jest określona wzorem $k(x)=5-x^2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Funkcja $p$ jest określona wzorem $p(x)=\sqrt{1-x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ nie większej od 1. Funkcje $f$ oraz $g$ są określone następująco:

Wyznacz wzory i dziedziny funkcji $f$ oraz $g$.

Rozwiąż nierówność

$\frac{x-1}{x^2-4}-\frac{1}{2-x}\ge \frac{3}{2+x}+2$.

Zapisz obliczenia.

Oblicz

Zapisz obliczenia.

W chwili początkowej ($t=0$) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\ge 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama. Zapisz obliczenia.

Dane są liczby
$a=4^{{\log }_{2}45}\text{oraz}b=\frac{{\log }_{3}2023}{{\log }_{9}2023}.$

Oblicz $a-b$.

W chwili początkowej ($t=0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80°C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 20°C. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

$T(t)=(T_p-T_z)\cdot k^{-t}+T_z$ dla $t\ge 0$

gdzie: $T$ – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, $t$ – czas wyrażony w minutach liczony od chwili początkowej, $T_p$ – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, $T_z$ – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, $k$ – stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65°C. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{-3x+41}{x-13}$ dla $x\ne 13$.

Punktem kratowym nazywamy punkt w układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji $f$. Zapisz obliczenia.

Dane są liczby
$a=\left({\log }_{\sqrt{5}}2\right)\cdot {\log }_{2}25\text{i}b=\frac{{\log }_{5}6}{{\log }_{5}8}$.

Oblicz $a^{b+1}$.

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

$Q(t)=Q_0\cdot {\beta }^{-t}$ dla $t\ge 0$

gdzie: $Q_0$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej ($t=0$) wyrażony w milikulombach, $Q$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili $t$ (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach, $\beta$ – stała dodatnia, $t$ – czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili $t=4$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili $t=6$ s – ładunek 18 milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t=5$ s. Zapisz obliczenia.

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\ge 0$

gdzie: $N_0$ – liczebność populacji w chwili $t=0$ (liczba bakterii), $N(t)$ – liczebność populacji w chwili $t$ (liczba bakterii), $k$ – stała charakterystyczna dla danego gatunku bakterii, $t$ – czas wyrażony w godzinach.

W chwili rozpoczęcia obserwacji ($t=0$) liczebność populacji była równa $10000$, a po dwóch godzinach – równa $15625$.

Wyznacz wartość stałej $k$ i podaj, o ile procent liczebność populacji wzrastała w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Dane są liczby rzeczywiste $a$ oraz $b$:

Oblicz wartość ilorazu $\frac{a}{2b}$. Wynik zapisz w postaci $3^k$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$. Zapisz obliczenia.