2. Wielomiany

Przy dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-1)$ otrzymujemy iloraz $Q(x)=8x^2+4x-14$ oraz resztę $R(x)=-5$. Oblicz pierwiastki wielomianu $W(x)$.

Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$ wiedząc, że $W(2)=7$ oraz że reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa 10.

Rozwiąż nierówność $x^4+x^2\ge 2x$.

Wielomian $W(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2-24x+9$ jest kwadratem wielomianu $P(x)=x^2+cx+d$. Oblicz $a$ oraz $b$.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=4x^3-5x^2-23x+m$ przez dwumian $x+1$ jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=6x^3+(m+4)x^2-2x-1$ przez dwumian $x-m$ jest równa 8. Oblicz wartość $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których liczba 1 jest jedynym całkowitym pierwiastkiem wielomianu $W(x)=m{x}^3+x^2+(m^2-9)x+m$.

Dany jest wielomian $W(x)=2x^3+a{x}^2-13x+b$. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x+2)$ jest równa 20. Oblicz współczynniki $a$ i $b$ oraz pozostałe pierwiastki wielomianu $W(x)$.

Liczba $\frac{2}{5}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=5x^3-7x^2-3x+p$. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność $W(x)>0$.

Wielomian $W(x)=x^3+c{x}^2-10x+d$ jest podzielny przez dwumian $P(x)=x+2$. Przy dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $Q(x)=x-1$ otrzymujemy resztę $(-30)$. Oblicz pierwiastki wielomianu $W(x)$ i rozwiąż nierówność $W(x)\ge 0$.

Wielomian określony wzorem $W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2-11x-2(2m+1)$ jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę 6. Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\le 0$.

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x)=x^4+b{x}^3+c{x}^2$ przez dwumiany $(x-2)$ i $(x-3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x-4)$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Dane jest równanie

z niewiadomą $x$ i parametrem $m\in \mathbb{R}$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ oraz $x_3$, spełniające warunek $x_1\cdot x_2\cdot x_3>x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51$. Zapisz obliczenia.

Wielomian $W(x)=7x^3-9x^2+9x-2$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Oblicz ten pierwiastek. Zapisz obliczenia.

Wielomian $W$ jest określony wzorem $W(x)=(x-1)(x^2-mx+m-1)$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wielomian $W$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.