23. Dowody geometryczne

Trójkąty prostokątne równoramienne $ABC$ i $CDE$ są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty).

Wykaż, że $|AD|=|BE|$.

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$. Na boku $BC$ wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=|CD|$ i $|EB|=|BA|$. Wykaż, że kąt $AED$ jest prosty.

Trójkąt $ABC$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B$, $C$, $N$ są współliniowe. Na boku $AC$ wybrano punkt $M$ tak, że $|AM|=|CN|$.

Wykaż, że $|BM|=|MN|$.

Na bokach trójkąta równobocznego $ABC$ (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty $ABDE$, $CBGH$ i $ACKL$.

Udowodnij, że trójkąt $KGE$ jest równoboczny.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów $A$ i $B$. Dwusieczne te przecinają się w punkcie $P$. Uzasadnij, że kąt $APB$ jest rozwarty.

Dany jest równoległobok $ABCD$. Na przedłużeniu przekątnej $AC$ wybrano punkt $E$ tak, że $|CE|=\frac{1}{2}|AC|$ (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że pole równoległoboku $ABCD$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $DCE$.

Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$. Odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta, punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ (tak jak na rysunku) i $|CD|=|DE|$.

Udowodnij, że trójkąt $CDE$ jest równoboczny.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC|>|BC|$. Na bokach $AC$ i $BC$ tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty $D$ i $E$, że zachodzi równość $|CD|=|CE|$. Proste $AB$ i $DE$ przecinają się w punkcie $F$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\angle BAC|=|\angle ABC|-2\cdot |\angle AFD|$.

W trapezie $ABCD$ ($AB\parallel CD$) przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że $|AO|:|OC|=5:1$. Pole trójkąta $AOD$ jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu $ABCD$ jest równe 72.

Dany jest kwadrat $ABCD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków – odpowiednio – $AE$ i $EC$. Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ tak, że $|BL|=\frac{1}{3}|BE|$, $|DN|=\frac{1}{3}|DE|$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $1:3$.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$. Prosta $KL$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $L$, a środek $O$ tego okręgu leży na odcinku $KM$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że kąt $KML$ ma miarę 31°.

Czworokąt $ABCD$ wpisano w okrąg tak, że bok $AB$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Udowodnij, że $|AD{|}^2+|BD{|}^2=|BC{|}^2+|AC{|}^2$.

W prostokącie $ABCD$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $R$ jest środkiem boku $CD$.

Wykaż, że pole trójkąta $APR$ jest równe sumie pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości $AD$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina ramię $AD$ w punkcie $E$ oraz dwusieczną kąta $BCD$ w punkcie $F$ (zobacz rysunek).

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ oraz $BD$ przecinają się w punkcie $S$.

Wykaż, że jeżeli $|AS|=\frac{5}{6}|AC|$, to pole trójkąta $ABS$ jest 25 razy większe od pola trójkąta $DCS$.

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$, styczne zewnętrznie w punkcie $C$. Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $|\angle APC|=\alpha$ i $|\angle ABC|=\beta$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\alpha =180°-2\beta$.

Dwusieczna kąta ostrego $ABC$ przecina przyprostokątną $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ w punkcie $D$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ACB|=90°$ i $|\angle ABC|=60°$. Niech $D$ oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $|AD|:|BD|=3:1$.

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy 2.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Na boku $CD$ tego prostokąta wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=2|DE|$, a na boku $AB$ wybrano taki punkt $F$, że $|BF|=|DE|$. Niech $P$ oznacza punkt przecięcia prostej $EF$ z prostą $BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty $AED$ i $FPB$ są przystające.

W równoległoboku $ABCD$ punkt $E$ jest środkiem boku $BC$. Z wierzchołka $D$ poprowadzono prostą przecinającą bok $BC$ w punkcie $E$. Proste $AB$ i $DE$ przecinają się w punkcie $F$ (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt $B$ jest środkiem odcinka $AF$.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $\alpha$, to miara kąta $ASD$ jest równa $3\alpha$.

Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $S$ jest środkiem boku $AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów $A$ i $B$ od prostej $CS$ są równe.

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$, a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta (zobacz rysunek). Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$, a ponadto $|AC|=r\sqrt{3}$. Wykaż, że kąt $ACB$ ma miarę 120°.

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE|=\frac{3}{4}|CD|$. Punkt $F$ leży na boku $BC$ i odcinek $EF$ jest prostopadły do $BC$ (zobacz rysunek).

Bok $AB$ jest średnicą, a punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$. Punkt $D$ leży na tym okręgu, a odcinek $SD$ zawarty jest w symetralnej boku $BC$ trójkąta (zobacz rysunek).

Dwa okręgi o promieniach $r=2$ i $R=6$ są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej $k$. Wykaż, że prosta $l$ przechodząca przez środki $S$ i $P$ tych okręgów przecina prostą $k$ pod kątem $\alpha =30°$ (zobacz rysunek).

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. Rozważmy trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $A$. Niech każdy z boków tego trójkąta: $CA$, $AB$, $BC$ będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: $CA{W}_1$, $AB{W}_2$, $CB{W}_3$. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: $W_1$, $W_2$, $W_3$.

Trzy różne punkty $A$, $B$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu. Styczne $k$ i $l$ do tego okręgu, odpowiednio w punktach $A$ i $B$, przecinają się w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|=2\cdot |CD|$. Przekątna $AC$ tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta $DAB$.

Wykaż, że w tym trapezie miara kąta $DAB$ jest równa $60°$.

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).