19. Geometria analityczna

Prosta o równaniu $y=-2x+(3m+3)$ przecina w układzie współrzędnych oś $Oy$ w punkcie $(0,2)$. Wtedy

Prosta $k$ ma równanie $y=2x-3$. Wskaż równanie prostej $l$ równoległej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $D$ o współrzędnych $(-2,1)$.

Dane są punkty $A=(-2,2)$ i $B=(4,-2)$. Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $3x-6y+7=0$.

Punkt $A=(0,1)$ leży na wykresie funkcji liniowej $f(x)=(m-2)x+m-3$. Stąd wynika, że

✂️️Prosta o równaniu $y=\frac{2}{m}x+1$ jest prostopadła do prostej o równaniu $y=-\frac{3}{2}x-1$. Stąd wynika, że

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $y=ax+b$.

Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie

Dana jest prosta $l$ o równaniu $y=-\frac{2}{5}x$. Prosta $k$ równoległa do prostej $l$ i przecinająca oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$ ma równanie

Funkcja liniowa $f(x)=(m^2-4)x+2$ jest malejąca, gdy

Punkt $C=(0,2)$ jest wierzchołkiem trapezu $ABCD$, którego podstawa $AB$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=2x-4$. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę $CD$.

O funkcji liniowej $f$ wiadomo, że $f(1)=2$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P=(-2,3)$. Wzór funkcji $f$ to

Na prostej o równaniu $y=ax+b$ leżą punkty $K=(1,0)$, $L=(0,1)$. Wynika stąd, że

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x-4$ dla każdej liczby z przedziału $⟨-2,2⟩$. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział

Proste o równaniach: $y=mx-5$ oraz $y=(1-2m)x+7$ są równoległe, gdy

Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że

✂️️Dane są równania czterech prostych:

✂️️Równania $y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ oraz $y=-\frac{4}{3}$ opisują dwie proste

Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu $y=ax+b$.

Dane są punkty $M=(3,-5)$, $N=(-1,7)$. Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=(m-1)x+3$ leży punkt $S=(5,-2)$. Zatem

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=2x+b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa $g(x)=-3x+4$. Stąd wynika, że

Prosta $l$ o równaniu $y=m^{2}x+3$ jest równoległa do prostej $k$ o równaniu $y=(4m-4)x-3$. Zatem

✂️️Proste o równaniach: $y=2mx-m^2-1$ oraz $y=4m^{2}x+m^2+1$ są prostopadłe dla

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu $y=ax+b$ przechodzącej przez punkty $(0,-2)$ i $(6,2)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wtedy

Prosta $k$ przecina oś $Oy$ układu współrzędnych w punkcie $(0,6)$ i jest równoległa do prostej o równaniu $y=-3x$. Wówczas prosta $k$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punkcie

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $f$.

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań $\{\begin{array}{l}x+3y=-5\\ 3x-2y=-4\end{array}$. Wskaż ten rysunek.

Miejsce zerowe funkcji liniowej $f(x)=x+3m$ jest większe od 2 dla każdej liczby $m$ spełniającej warunek

Proste o równaniach $2x-3y=4$ i $5x-6y=7$ przecinają się w punkcie $P$. Stąd wynika, że

✂️️Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe $k$ i $l$ o równaniach $y=ax+b$ oraz $y=mx+n$. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$, przy czym $f(0)=-2$ i $f(1)=0$.

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych $(m-1,2m+5)$, gdzie $m$ jest dowolną liczbą rzeczywistą?

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12$ jest liczba

✂️️Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste $k$ i $l$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $A=(-2,4)$. Prosta $k$ jest określona równaniem $y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$. Zatem prostą $l$ opisuje równanie

Prosta $l$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem 30° i przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0,-\sqrt{3}\right)$. Prosta $l$ ma równanie

Funkcja liniowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{1}{3}x-1$, dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Wskaż zdanie prawdziwe.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=ax+b$, a punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik $a$ we wzorze tej funkcji jest równy

Funkcja liniowa $f(x)=(1-m^2)x+m-1$ nie ma miejsc zerowych dla

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$.

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=3(x+1)-6\sqrt{3}$ jest liczba

Proste o równaniach $y=(2m+2)x-2019$ oraz $y=(3m-3)x+2019$ są równoległe, gdy

✂️️Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest prostopadła do prostej o równaniu $y=-4x+1$ i przechodzi przez punkt $P=\left(\frac{1}{2},0\right)$, gdy

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$. Na wykresie tej funkcji leżą punkty $A=(0,4)$ i $B=(2,2)$.

Funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3$. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby $m$ spełniającej warunek

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=ax+b$.

Prosta przechodząca przez punkty $A=(3,-2)$ i $B=(-1,6)$ jest określona równaniem

Boki trójkąta $ABC$ są zawarte w prostych o równaniach $y=\frac{2}{3}x+2$ i $y=-x+2$ oraz osi $Ox$ układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Punkty $A=(80,-1)$ i $B=(-6,-19)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $ABC$. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

Punkty $A=(1,-1)$, $B=(6,1)$, $C=(7,5)$ i $D=(2,4)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$.

Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Funkcje liniowe $f$ i $g$ określone są wzorami $f(x)=-4x+12$ i $g(x)=-2x+k+3$ mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

✂️️W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

Funkcja liniowa $f(x)=(a-1)x+3$ osiąga wartość najmniejszą równą 3. Wtedy

Końcami odcinka $PR$ są punkty $P=(4,7)$ i $R=(-2,-3)$. Odległość punktu $T=(3,-1)$ od środka odcinka $PR$ jest równa

✂️️Proste o równaniach $y=3ax-2$ i $y=2x+3a$ są prostopadłe. Wtedy $a$ jest równe

Punkt $A=(3,-5)$ jest wierzchołkiem kwadratu $ABCD$, a punkt $M=(1,3)$ jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu $ABCD$ jest równe

Funkcja liniowa $f$ przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto $f(4)-f(2)=6$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Punkty $A=(-20,12)$ i $B=(7,3)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Wierzchołek $C$ leży na osi $Oy$ układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ oraz obwód tego trójkąta.

Obrazem prostej o równaniu $x-2y+3=0$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest prosta o równaniu

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=-2x+16$. Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B=(3,10)$ i $C=(-2,3)$.

Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $ABC$.

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2x+4$. Wykres funkcji $f$ przesunięto wzdłuż osi $Ox$ o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji $g$. Funkcja $g$ jest określona wzorem

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest okrąg o środku $S=(2,-5)$ i promieniu $r=3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie tego okręgu ma postać

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-3x-1$.

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest kwadrat $ABCD$. Wierzchołki $A=(-2,1)$ i $C=(4,5)$ są końcami przekątnej tego kwadratu.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej kwadratu $ABCD$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: punkt $A=(8,11)$ oraz okrąg o równaniu $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=25$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od środka tego okręgu jest równa

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y=3x+b$, przechodząca przez punkt $A=(-1,3)$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik $b$ w równaniu tej prostej jest równy

✂️️Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są:
• prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{2}x+5$
• prosta $l$ o równaniu $y-1=-2x$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste $k$ i $l$

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o 0,6°C, gdy wysokość wzrasta o 100 m, a gdy wysokość maleje o 100 m — temperatura rośnie o 0,6°C. W Zakopanem, które znajduje się na wysokości 1000 metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa 13°C. W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, rozważamy dwie proste o równaniach

gdzie $a\ne 0$, $b\ne 0$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Dla $a=2$ i $b=-\frac{3}{2}$ rozważane proste są

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest trójkąt $ABC$. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne: $A=(-15,-8)$, $B=(-6,4)$, $C=(-19,-5)$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $x^2+y^2=2$ oraz prosta $k$ o równaniu $y=m$, gdzie $m\in \mathbb{R}$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Okrąg $\mathcal{O}$ i prosta $k$ mają dwa punkty wspólne tylko wtedy, gdy $m\in$ .......

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest trójkąt $ABC$. Podstawa $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y=-3x+6$. Wierzchołki $A$ i $B$ leżą — odpowiednio — na osi $Oy$ oraz $Ox$. Wierzchołek $C$ ma współrzędne $(3,7)$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-8,12)$ i $B=(-2,4)$ są końcami cięciwy okręgu $\mathcal{O}$. Środek tego okręgu leży na prostej $k$ o równaniu $y=4x+2$.

Wyznacz współrzędne środka okręgu $\mathcal{O}$ i promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=-x^2+2x+3$. Funkcja liniowa $g$ określona jest wzorem $g(x)=-x+5$.

Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji $y=f(x)$ oraz funkcji $y=g(x)$. Zapisz obliczenia.

Dany jest układ równań $\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-x+1\end{array}$. Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

Okrąg $\mathcal{O}$ przecina oś $Oy$ w punktach o współrzędnych

✂️️Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach $k:y=\frac{1}{3}x-1$ oraz $l:y=-3x+6$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste $k$ oraz $l$

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(2m,m)$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta $k$ o równaniu $y=-x-1$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest równoległa do prostej $k$, gdy

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A–D. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

Proste $k$ oraz $l$

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{3}x+2$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $P=(3,5)$, gdy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresy funkcji liniowych $f(x)=(2m+3)x+5$ oraz $g(x)=-x$ nie mają punktów wspólnych dla

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $A=(-3,-1)$ oraz $B=(4,3)$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik $a$ w równaniu tej prostej jest równy

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-x+1$. Funkcja $g$ jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P=(0,-1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wzorem funkcji $g$ jest

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-1,5)$ oraz $C=(3,-3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu $ABCD$ jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są punkty $A=(1,7)$ oraz $P=(3,1)$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP|:|PB|=1:3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $B$ ma współrzędne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, punkt $(-8,6)$ jest punktem przecięcia prostych o równaniach

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $A=(-1,-4)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$. Punkt $S=(2,2)$ jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej $AC$ równoległoboku $ABCD$ jest równa