5. Ciągi

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny. Ciąg $(3a+3,2b,c-12)$ jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu.

Oblicz $a$, $b$, $c$.

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy $8$, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy $64$, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny.

Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, dla $n\ge 1$, dane są $a_1=-2$ oraz różnica $r=3$.

Oblicz największe $n$ takie, że $a_1+a_2+\dots +a_n<2012$.

Ciąg liczbowy $(a,b,c)$ jest arytmetyczny i $a+b+c=33$, natomiast ciąg $(a-1,b+5,c+19)$ jest geometryczny.

Oblicz $a$, $b$, $c$.

Liczby $a_1,a_2,\dots ,a_n$ są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Uzasadnij, że prawdziwa jest równość $\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \dots \cdot a_n}=\sqrt{a_1\cdot a_n}$.

Ciąg geometryczny $(a_n)$ ma $100$ wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $\log a_1+\log a_2+\log a_3+\dots +\log a_{100}=100$.

Oblicz $a_1$.

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od $1$. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o $7$, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o $3$, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.

Oblicz te liczby.

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy $5$, do drugiej $3$, a do trzeciej $4$, to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego.

Znajdź te liczby.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony dla każdej liczby całkowitej $n\ge 1$, w którym $a_4=4$ oraz dla każdej liczby $n\ge 1$ prawdziwa jest równość $a_{n+1}=a_n+n-4$.

Oblicz pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}=2a_n+3n+2\text{ dla }n\ge 1\end{array}$.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $a_2+3$ i $a_3+2$.

Liczby $a$, $b$, $c$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa $27$. Ciąg $(a-2,b,2c+1)$ jest geometryczny.

Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $(b_n)$. Wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $124$. Natomiast pierwszy wyraz $b_1$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_n)$ jest równa $18$.

Wyznacz te ciągi.

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ określonego dla $n\ge 1$, spełniają układ równań

Liczby $a$, $b$, $c$, spełniające warunek $3a+b+3c=77$, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg $(a,b+1,2c)$ jest geometryczny.

Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$ oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $(a,aq,a{q}^2)$, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o $4$, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.

Oblicz wyraz $aq$ tego ciągu.

Trzywyrazowy ciąg $(a,b,c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $\left(\frac{1}{a},\frac{2}{3b},\frac{1}{2a+2b+c}\right)$ jest geometryczny.

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny, ciąg $(a+1,b+5,c)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz $a+b+c=39$.

Oblicz $a$, $b$, $c$.

W ciągu geometrycznym $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa $182$, a stosunek sumy wyrazów o numerach nieparzystych do sumy wyrazów o numerach parzystych jest równny $\frac{1}{3}$.

Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_1,a_2,a_3)$, spełniona jest równość $a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}$. Wyrazy $a_1,a_2,a_3$ są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego.

Oblicz $a_1$.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równy $2$. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_n=3\cdot a_{n+1}+n^2$.

Oblicz sumę $a_1+a_2+a_3$.

Czterowyrazowy ciąg $(a,b,c,d)$ jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg $(a+100,b,c)$ jest geometryczny.

Oblicz wyrazy ciągu $(a,b,c,d)$.

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Ciąg $(a_1\cdot a_2,a_2\cdot a_3,a_3\cdot a_1)$ jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.

Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a,b,c)$ jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg $(2a,2b,c+1)$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek $c-b=6$.

Oblicz $a$, $b$ oraz $c$. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz $z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, spełniają warunek $a_3+a_5=10$. Trzywyrazowy ciąg $\left(2a_1+4,a_4-1,-\frac{1}{8}{a}_7\right)$ jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a_1^2+a_3^2=328$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu $a_6=15$ oraz $a_{15}=a_3\cdot (a_8-6)$. Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i $b_1=a_{11}$ oraz $b_2=a_6$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(b_n)$. Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.