22. Stereometria

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek).

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta $\alpha$.

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$ o boku długości 4. Krawędź boczna $DS$ jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$. Przekątne $AC$ i $BD$ ściany $ABCD$ sześcianu przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3 : 4. Przekątne podstawy $ABCD$ przecinają się w punkcie $O$. Odcinek $SO$ jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt $SAO$ ma miarę 60°.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3 : 2. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm³.

Dany jest stożek o objętości $18\pi$, którego przekrojem osiowym jest trójkąt $ABC$ (zobacz rysunek). Kąt $CBA$ jest kątem nachylenia tworzącej $l$ tego stożka do płaszczyzny jego podstawy. Tangens kąta $CBA$ jest równy 2.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o $2\pi$ większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa 144. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 2. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze 60° (zobacz rysunek).

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym $ABCDEFS$, którego krawędź podstawy $a$ ma długość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha =60°$.

Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Graniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCS$ o podstawie $ABC$. Punkty $D$, $E$ i $F$ są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych $AS$, $BS$ i $CS$ (zobacz rysunek).

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość $10\sqrt{3}$, a każda jego krawędź boczna ma długość 15.

Oblicz wysokość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $9$. Wierzchołki podstawy $ABCD$ sześcianu połączono odcinkami z punktem $W$, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $EFGH$. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDW$ (zobacz rysunek).

Dany jest sześcian $\mathcal{F}$ o krawędzi długości $a$ i objętości $V$ oraz sześcian $\mathcal{G}$ o krawędzi długości $3a$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość sześcianu $\mathcal{G}$ jest równa

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K}=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Postawą tego ostrosłupa jest

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku $6$. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEF{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$, w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna $A{D}^{\prime }$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek).

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6$.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt $P$ (zobacz rysunek).

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{3}$ (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

Ostrosłup $F_1$ jest podobny do ostrosłupa $F_2$. Objętość ostrosłupa $F_1$ jest równa 64. Objętość ostrosłupa $F_2$ jest równa 512.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_2$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_1$ jest równy ..............

Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Przekątna ściany sześcianu ma długość $2\sqrt{2}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\mathrm{tg}\alpha =2$ (zobacz rysunek).

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość 10.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym podstawy $ABCD$ i $EFGH$ są kwadratami o boku długości 6. Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu tworzy z przekątną $AH$ ściany bocznej $ADHE$ kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).

Dane są dwa prostopadłościany podobne: ${\mathcal{B}}_1$ oraz ${\mathcal{B}}_2$. Objętość prostopadłościanu ${\mathcal{B}}_1$ jest równa $V$, a objętość prostopadłościanu ${\mathcal{B}}_2$ jest równa $27V$. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ${\mathcal{B}}_1$ jest równe $P$.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ${\mathcal{B}}_2$ jest równe

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy $d=20$ cm, wysokości $H=25$ cm i tworzącej $l$.

Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską $ABS$ o kształcie wycinka koła o promieniu $l$ i środku $S$ (rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek $SB$ z odcinkiem $SA$ (rysunek 2.).

Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$, a krawędź podstawy ma długość równą $6\sqrt{3}$.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Pole powierzchni bocznej walca jest równe $16\pi$, a promień jego podstawy ma długość $2$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego walca jest równa

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$, że $\mathrm{tg}\alpha =3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $p$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa

Objętość stożka o wysokości 2 jest równa $8\pi$.

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Objętość sześcianu jest równa 729.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego stożka jest równa

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Wysokość podstawy $ABC$ jest równa $2\sqrt{3}$. Przekątna $AE$ ściany bocznej $ABED$ tworzy z krawędzią $AB$ kąt o mierze $60°$ (zobacz rysunek).

Objętość walca o promieniu podstawy $2$ jest równa $16{\pi }^2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego walca jest równa

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $ACH$ jest równe $4\sqrt{3}$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $12$. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30°$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pole powierzchni całkowitej walca $C_1$ jest równe $12\pi$, a objętość tego walca jest równa $4\pi$. Walec $C_2$ jest podobny do walca $C_1$ w skali $k=2$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30°$ (zobacz rysunek).