21. Planimetria

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|BC|=5$, $|AC|=10$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO|=5$, $|BO|=3$, $|OC|=10$, $|\angle OAB|=|\angle OCD|$ (zobacz rysunek).

Dane są dwa trójkąty podobne $ABC$ i $KLM$ o polach równych – odpowiednio – $P$ oraz $2P$. Obwód trójkąta $ABC$ jest równy $x$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Obwód trójkąta $KLM$ jest równy

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $O$. Proste $k$ i $l$ są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $A$ i $B$. Te proste przecinają się w punkcie $S$ i tworzą kąt o mierze $76°$ (zobacz rysunek).

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ABO$ ma miarę $40°$, a kąt $OBC$ ma miarę $10°$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6$, $7$ oraz $8$.

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4$, a bok $BC$ ma długość $4,6$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $ACB$ w punkcie $D$ takim, że $|AD|=3,2$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt $H$ jest jego ortocentrum.

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dane są:
• okrąg o środku $S$ i promieniu $r=1$
• prosta $k$ przechodząca przez $S$ i przecinająca okrąg w punktach $P$ i $Q$
• prosta $l$ styczna do danego okręgu w punkcie $T$.

Prosta $k$ przecina prostą $l$ w punkcie $R$. Prosta przechodząca przez punkt $Q$ i równoległa do odcinka $ST$ przecina styczną $l$ w punkcie $U$ (zobacz rysunek).

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|AD|=4$ i $|OD|=|BC|=6$. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=4$, $|AB|=3$, $\cos \angle BAC=\frac{4}{5}$.

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $26$.

Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30°$, $45°$ oraz $105°$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$. Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$, przy czym $|BC|=4$ i $|CD|=3$ (zobacz rysunek).

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Na łukach $AB$ i $CD$ okręgu są oparte kąty wpisane $ADB$ i $DBC$, takie, że $|\angle ADB|=20°$ i $|\angle DBC|=40°$ (zobacz rysunek). Cięciwy $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $K$.

Pole trójkąta równobocznego $T_1$ jest równe $\frac{(1,5{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}$. Pole trójkąta równobocznego $T_2$ jest równe $\frac{(4,5{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $T_2$ jest podobny do trójkąta $T_1$ w skali

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135°$ (zobacz rysunek).

Trapez $T_1$, o polu równym $52$ i obwodzie $36$, jest podobny do trapezu $T_2$. Pole trapezu $T_2$ jest równe $13$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu $T_2$ jest równy

✂️W trójkącie $ABC$ długość boku $AC$ jest równa $3$, a długość boku $BC$ jest równa $4$. ✂️Dwusieczna kąta✂️ $ABC$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek $|AD|:|DB|$ jest równy

W rombie $ABCD$ dłuższa przekątna $AC$ ma długość $12$ i tworzy z bokiem $AB$ kąt o mierze $30°$ (zobacz rysunek).

Dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S$. Średnica $AB$ tego okręgu przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Ponadto: $|PB|=4$, $|PC|=8$ oraz $|PD|=5$.

✂️Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\ne b$. ✂️Dwusieczna kąta✂️ $KLM$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$ (zobacz rysunek).

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42°$ (zobacz rysunek).

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB|=8$ oraz $|CD|=5$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek).

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Długość łuku $AB$, na którym jest oparty kąt wpisany $ACB$, jest równa $\frac{1}{5}$ długości okręgu (zobacz rysunek).

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość równą $12$. Punkt $S$ jest środkiem boku $BC$ tego kwadratu. Na odcinku $AS$ leży punkt $P$ taki, że odcinek $BP$ jest prostopadły do odcinka $AS$.

Oblicz długość odcinka $BP$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=5$, $|AC|=2$ oraz $\cos |\angle BAC|=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $BC$ tego trójkąta jest równa

Punkty $K$, $L$ oraz $M$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Miara kąta $KSM$ jest równa $160°$ (zobacz rysunek).

W trójkącie $ABC$ dane są długości dwóch boków $|AB|=12$, $|BC|=8$ oraz miara kąta $|\angle ABC|=60°$. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka $A$.

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$. Środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej).

Długości boków $AB$ i $AC$ są równe odpowiednio $|AB|=3r$ oraz $|AC|=\sqrt{3}r$.

Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$. Długość odcinka $SA$ jest równa $10$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ do boku $BC$ jest równa

Dane są okrąg o środku $S$ oraz prosta $k$ styczna do okręgu w punkcie $A$.

Odcinek $AB$ jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą $k$ a cięciwą $AB$ jest równa $50°$. Punkt $C$ leży na okręgu. Kąt wpisany $BCA$ jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach $|AC|=12$, $|BC|=5$, $|AB|=13$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości: $|AB|=4$, $|BC|=5$, $|AC|=6$.

Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $ABC$.

Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $A$. Proste $m$, $n$ i $s$ są wzajemnie równoległe i przecinają obie proste $k$ i $l$ w punktach $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że: $|BC|=30$, $|CD|=20$, $|GF|=21$.

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $7,5$. Krótsza przekątna $AC$ ma długość równą $6$ i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $6$. Miara kąta wpisanego $ACB$ jest równa $60°$ (zobacz rysunek).

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Miara kąta $BCA$ jest równa $50°$ (zobacz rysunek).

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC|=|BC|=4$ i $|AB|=3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=11$, $|BC|=12$ oraz $|\angle ABC|=60°$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek).

Kwadrat $K_2$ jest podobny do kwadratu $K_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek).

Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36$. Punkt $S$ leży na odcinku $BD$. Kąt $BDA$ ma miarę $40°$, a kąt $DBC$ ma miarę $65°$ (zobacz rysunek).

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|AC|=4$ oraz $|\angle CAB|=60°$ (zobacz rysunek).

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB|=2\cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $K$ jest punktem przecięcia cięciwy $AC$ i średnicy $BD$. Kąt $COB$ jest prosty, a kąt $AKD$ ma miarę $78°$ (zobacz rysunek).

Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu $1$ (zobacz rysunek).

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt $CDA$ ma miarę $50°$, a kąt $COB$ ma miarę $30°$ (zobacz rysunek).

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$, $l$, $m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA|=12$, $|OB|=6$ oraz $|OC|=8$ (zobacz rysunek).

W okrąg $\mathcal{O}$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma długość ………

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\angle ABD|=18°$. Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$. Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$. Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$. Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB|=6$, $|BC|=4$ oraz $|BD|=2$ (zobacz rysunek).