20. Trygonometria

Liczba $1-\mathrm{tg}40°$ jest

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\mathrm{tg}\alpha +\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$.

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{4}{5}$. Wtedy

Kąt $\alpha \in (0°,180°)$ oraz wiadomo, że $\sin \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{3}{8}$.

Wartość wyrażenia $(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2+2$ jest równa

Wartość wyrażenia $2{\sin }^{2}18°+{\sin }^{2}72°+{\cos }^{2}18°$ jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ i $\beta$ (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha }=4$. Oblicz tangens kąta $\alpha$.

Prosta $k$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem ostrym $\alpha$, takim, że $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej $k$.

Punkty $P=(-3,4)$ i $O=(0,0)$ leżą na jednej prostej. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia tej prostej do osi $Ox$ (zobacz rysunek).

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ iloczyn $\frac{\cos \alpha }{1-{\sin }^2\alpha }\cdot \frac{1-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }$ jest równy

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{5}$. Wtedy

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $4\mathrm{tg}\alpha =3{\sin }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $(1-\cos 20°)\cdot (1+\cos 20°)-{\sin }^{2}20°$ jest równa

Zadanie sprawdza wymagania podstawy programowej z matematyki, które nie będą obowiązywały w pełnym zakresie na egzaminie maturalnym w roku 2027.

Z okna wieży kontroli lotów widać startujący samolot $S$ pod kątem $38°$ do poziomu. Kontroler $K$ znajduje się na wysokości $136$ m od płyty lotniska (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O=(0,0)$. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P=(-3,1)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie ${\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha$ jest równe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos \alpha -\cos \alpha \cdot {\sin }^2\alpha$ jest równe

Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki:

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O=(0,0)$, taki że $\mathrm{tg}\alpha =-3$ oraz $90°<\alpha <180°$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba ${\sin }^{3}20°+{\cos }^{2}20°\cdot \sin 20°$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $1+{\cos }^{2}27°$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha =\frac{24}{25}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta $\alpha$ jest równy

W trójkącie prostokątnym $ABC$ sinus kąta $CAB$ jest równy $\frac{3}{5}$, a przeciwprostokątna $AB$ jest o $8$ dłuższa od przyprostokątnej $BC$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta jest równa

Dany jest kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ oraz $90°<\alpha <180°$.

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC|=\sqrt{15}$ i $|BC|=8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD|=6$ (zobacz rysunek).

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3}\mathrm{tg}\alpha =2\sin \alpha$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\frac{{\sin }^{3}25°+\sin 25°\cdot {\cos }^{2}25°}{\cos 25°}$ jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek).

Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{4}{7}$.

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha =\frac{5}{13}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sin 30°\cdot \cos 60°+\sin 60°\cdot \cos 30°$ jest równa

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{3\sin \alpha }{\mathrm{tg}\alpha }$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną oraz $|AC|=6$. Tangens kąta $BCA$ jest równy $\frac{3}{2}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $AB$ ma długość

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha }{4\cos \alpha }=6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha =\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy