15. Ciągi

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa $\left(-\frac{3}{2}\right)$. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

W skończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$ pierwszy wyraz $a_1$ jest równy 7 oraz ostatni wyraz $a_n$ jest równy 89. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równna 2016. Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, w którym

$a_1+a_2+a_3+a_4=2016$ oraz $a_5+a_6+a_7+\dots +a_{12}=2016$.

Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu $(a_n)$.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2016-3n$ dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, dane są: wyraz $a_1=8$ i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_3=33$. Oblicz różnicę $a_{16}-a_{13}$.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, spełniony jest warunek $2a_3=a_2+a_1+1$. Różnica $r$ tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(x,2x^2,4x^3,8)$ o wyrazach nieujemnych. Wtedy

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równa 30. Ponadto $a_{30}=30$. Oblicz różnicę tego ciągu.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla $n\ge 1$, w którym spełniona jest równość $a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100$. Oblicz sumę $a_{25}+a_{26}$.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=\frac{5-2n}{6}$ dla $n\ge 1$. Ciąg ten jest

Dla ciągu arytmetycznego $(a_n)$ określonego dla $n\ge 1$, jest spełniony warunek $a_4+a_5+a_6=12$. Wtedy

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla $n\ge 1$, w którym $a_1=\sqrt{2}$, $a_2=2\sqrt{2}$, $a_3=4\sqrt{2}$. Wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu ma postać

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ określonego dla $n\ge 1$ są dodatnie i $3a_2=2a_3$. Stąd wynika, że iloraz $q$ tego ciągu jest równy

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge 1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S_{10}=\frac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n\ge 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}$. Iloraz tego ciągu jest równy

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $r=-4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_k=-78$.

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla liczb naturalnych $n\ge 1$, o wyrazach dodatnich. Jeśli $a_2+a_9=a_4+a_k$, to $k$ jest równe

W ciągu $(a_n)$ określonym dla każdej liczby $n\ge 1$ jest spełniony warunek $a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}$. Wtedy

W ciągu geometrycznym przez $S_n$ oznaczamy sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych $n\ge 1$. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: $S_1=2$, $S_2=12$. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $(a_1,a_2,\dots ,a_{39},a_{40})$ suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $6a_1-5a_2+a_3=0$. Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $⟨2\sqrt{2},3\sqrt{2}⟩$.

Dany jest trzywyrazowy ciąg $(x+2,4x+2,x+11)$. Oblicz wszystkie wartości $x$, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy 64. Stąd wynika, że $y$ jest równe

Ciągi $(a_n)$, $(b_n)$ oraz $(c_n)$ są określone dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ następująco:

Wskaż zdanie prawdziwe.

Rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$.

Dane są ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$ określone dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wzorami:

$a_n=20n+3$, $b_n=2n^2-3$, $c_n=n^2+10n-2$, $d_n=\frac{n+187}{n}$.

Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21}+62$. Oblicz różnicę ciągu $(a_n)$.

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001 jest równa

Trójwyrazowy ciąg $(2,x,18)$ jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=-3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=\frac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=3n-1$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=2n^2+n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pięciowyrazowy ciąg $\left(-3,\frac{1}{2},x,y,11\right)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby $x$ oraz $y$ są równe

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. W tym ciągu $a_1=-5$, $a_2=15$, $a_3=-45$.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu $(a_n)$ ma postać

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^n\cdot (n+1)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz $a_4$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(27,9,a-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{n-2}{3}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa

Trzywyrazowy ciąg $(1,4,a+5)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. W tym ciągu $a_1=3,75$ oraz $a_2=-7,5$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{n+1}{2}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $128$, natomiast iloraz ciągu jest równy $\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(3x^2+5x,x^2,20-x^2)$ jest arytmetyczny.

Oblicz $x$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem $S_n=4\cdot (2^n-1)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trzywyrazowy ciąg $(1-2a,12,48)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. W tym ciągu $a_2=4$ oraz $a_3=9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1{)}^n\cdot (n-5)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trzywyrazowy ciąg $(12,6,2m-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równna $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2\cdot (-1{)}^{n+1}+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, dane są wyrazy: $a_1=7$ oraz $a_2=13$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz $a_{10}$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(-1,2,x)$ jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg $(-1,2,y)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_n=n^2+2n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, w którym $a_2=2$ oraz $a_5=54$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(2m-5,4,9)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem rekurencyjnym:

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem ogólnym: $a_n=4n-9$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wykaż, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=n^2-n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ jest

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{1}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$.

Oblicz wartość $m$, dla której liczby $f(m)$, $f(1)$, $f(2)$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3\cdot (-1{)}^n+10$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg $(5m,4+2m,m)$ jest arytmetyczny, gdy liczba $m$ jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, w którym $a_2=\frac{1}{6}$ oraz $a_3=\frac{1}{9}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, w którym $a_1=27$ oraz $a_2=9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n^2-3n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, dane są wyrazy:

$a_1=52$ oraz $a_{25}=2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg $(4,m,m-1)$ jest geometryczny, gdy liczba $m$ jest równa

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{32\cdot (-1{)}^n}{2^{n-1}}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Różnica tego ciągu jest równa $(-4)$ oraz $a_{10}=-24$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg geometryczny $(a_n)$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_3=-8\cdot a_6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5},1,x)$ jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5},1,y)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{3n+9}{n+1}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wyznacz wszystkie wartości $x$, dla których trzywyrazowy ciąg

jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_6=25\cdot a_8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Trzywyrazowy ciąg $(a_1,a_9,a_k)$ jest geometryczny.

Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

W tym ciągu $a_1=1$ oraz $a_5=17$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3\cdot a_6=18$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy .........

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

Czterowyrazowy ciąg $(7,a_2,a_3,a_4)$ jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pięciowyrazowy ciąg $(a_1,a_2,2,a_4,a_5)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=32\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-5}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma $S_{10}$ dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $90$. Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa $10$.

Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Trzywyrazowy ciąg $(x,x+4,2x+8)$, o wszystkich wyrazach dodatnich, jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz tego ciągu jest równy