14. Optymalizacja

Liczby rzeczywiste $x$ i $z$ spełniają warunek $2x+z=1$. Wyznacz takie wartości $x$ i $z$, dla których wyrażenie $x^2+z^2+7xz$ przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°. Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Firma handlowa ustaliła, że liczba sprzedanych przez nią egzemplarzy gry komputerowej w ciągu każdego tygodnia zależy od jej ceny. Liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja $f(x)=2400-15x$, gdzie $x$ oznacza cenę jednostkową gry.

Jaka powinna być cena jednostkowa, aby tygodniowy przychód $P$ ze sprzedaży gry był największy? Oblicz ten największy przychód. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że przychód jest iloczynem liczby sprzedanych gier oraz ceny jednostkowej tej gry.

Dany jest prostokąt $PQRS$ o bokach długości $|PQ|=|SR|=10$ oraz $|PS|=|QR|=6$. Na bokach $PQ$, $QR$, $RS$, $SP$ obrano odpowiednio punkty $A$, $B$, $C$, $D$ takie, że $|AQ|=|BR|=|CS|=|DP|=x$ oraz $x\ge 3$ (zobacz rysunek).

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę $L$ obsługiwanych klientów $n$-tego dnia opisuje funkcja

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB|=400$ m oraz $|CD|=100$ m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$ – na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18 dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód $P$ ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o $x$ zł, wyraża się wzorem

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa 12.

Wyznacz $x$ oraz $y$, dla których wartość wyrażenia $2x^2+y^2$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli.

Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości $x_k=7,01$ m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej.

Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie $x_0=0$, $y_0=2,50$ m.

Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości 10 m (zobacz rysunek). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $AE$ jest 3 razy dłuższa od krawędzi $AB$, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa 15 (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych, opisuje funkcja

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$.

Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki:

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.