13. Funkcja kwadratowa

Jeśli funkcja kwadratowa $f(x)=x^2+2x+3a$ nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba $a$ spełnia warunek

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=x^2-11x$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ w przedziale $⟨-6,6⟩$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorem $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$ oraz $f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}$.

Oblicz wartość współczynnika $a$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ oraz $f(-1)=f(3)=1$. Współczynnik $b$ jest równy

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(x-3)(7-x)$. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $f$ należy do prostej o równaniu

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^2+bx+c$.

Współczynniki $b$ i $c$ spełniają warunki:

Funkcja kwadratowa $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ma dwa miejsca zerowe $x_1=-2$ i $x_2=6$. Wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt $A=(1,-5)$.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$.

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=-(x+3)(x-5)$. Liczby $x_1$, $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$. Zatem

Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-6x-3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Największą wartością funkcji $y=-(x-2{)}^2+4$ w przedziale $⟨3,5⟩$ jest

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ jest parabola, na której leży punkt $A=(0,-5)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=7$.

Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,-4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=9-(3-x{)}^2$ są liczby

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $g$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,1)$.

Zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,1)$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-x^2+6x+4$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $(3,q)$. Liczba $q$ jest równa

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=a{x}^2+bx+c$.

Stąd wynika, że

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-(x+9{)}^2+m$ jest przedział $(-\infty ,-5)$. Wtedy

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=\frac{1}{3}{x}^2+4x+7$ jest prosta o równaniu

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=a{x}^2+bx+c$.

Stąd wynika, że

Funkcja kwadratowa $f(x)=x^2+bx+c$ nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że $1+c>b$.

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x+1)(x-3)$ jest malejąca w przedziale

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-3(x+4)(x-2)$ jest parabola o wierzchołku $W=(p,q)$. Współrzędne wierzchołka $W$ spełniają warunki

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0,3)$. Prosta o równaniu $x=-2$ jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(x-2)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-(x-1{)}^2+2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już 97 spośród 3697 zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał $n$ zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązywanych zadań zwiększył o 5, czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o 10 dni.

Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązywanych zadań.

Zapisz obliczenia.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.

Temperatura powietrza obniża się wraz ze wzrostem wysokości n.p.m. Na podstawie danych empirycznych stwierdzono, że temperatura maleje o $0,6$ °C, gdy wysokość wzrasta o $100$ m, a gdy wysokość maleje o $100$ m – temperatura rośnie o $0,6$ °C.

W Zakopanem, które znajduje się na wysokości $1000$ metrów n.p.m., temperatura powietrza zmierzona w punkcie pomiarowym była równa $13$ °C. W tym samym czasie dokonano pomiarów temperatury powietrza w Białce Tatrzańskiej i na Rysach.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2x^2+bx+c$ i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla $x\in (-4,2)$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dana jest funkcja kwadratowa $f$. Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(0,8)$, a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu $x=4$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest $x_1=2$.

Wyznacz i zapisz wzór funkcji $y=f(x)$ w postaci iloczynowej.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, ma współrzędne $(5,-3)$. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych ma współrzędne $(4,0)$ (zobacz rysunek).

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=a{x}^2+bx+1$, gdzie $a$ oraz $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że $a<0$ i $b>0$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

Funkcje $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, oraz $F$ są określone dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział $(-\infty ,2]$ jest zbiorem wartości funkcji ............... oraz .............. .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x,y)$ dokładnie dwa punkty wspólne: $M=(0,18)$ oraz $N=(3,0)$.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-(x+1{)}^2+4$.

Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, fragment wykresu funkcji $y=f(x)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ przedstawiono na rysunku

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x^2+2x+m$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Współczynnik $m$ jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Funkcja $f$

Dana jest funkcja kwadratowa $y=f(x)$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej $y=g(x)$ należy punkt o współrzędnych $(2,-6)$. Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x=3$, a jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest $x_1=1$.

Wyznacz wzór funkcji $g$ w postaci iloczynowej.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $(3,0)$. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0,-9)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3,6)$. Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0,3)$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2,15)$. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x=-1$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla $x$ równego

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+bx+c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $x=1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-5(x-\pi {)}^2+\sqrt{2}$.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,-2)$. Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x)=f(x+1)$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

W chwili $t=0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^2-kx+6$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(-3,7)$.