9. Dowody algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $n^2+2023$ jest podzielna przez $8$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $10n^2+30n+8$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.

Dana jest liczba

Wykaż, że $a$ jest liczbą całkowitą. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $(2n+1{)}^2-1$ jest podzielna przez $8$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2+7k-2$ przez $7$ jest równa $5$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $3n^3+18n^2+15n$ jest podzielna przez $6$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2+4n+1$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $5n^3-5n$ jest podzielna przez $30$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $(2n+5{)}^2+3$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez $3$.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(3n+5{)}^2+11n^2-18$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$.

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że $a<b$ oraz obie są niepodzielne przez $3$.

Udowodnij, że liczba $a^2+11ab+b^2$ jest podzielna przez $9$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $n(n^2+3n+2)$ jest podzielna przez $6$.

Udowodnij, że liczba $3^{45}+9^{22}+27^{14}$ jest podzielna przez $37$.

Wykaż, że liczba $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ jest podzielna przez $21$.

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2-b^2$ jest podzielna przez $5$.

Wykaż, że liczba $8^{50}-2^{145}$ jest podzielna przez $31$.

Wykaż, że liczba $2501^4-2499^4$ jest podzielna przez $10000$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n\ge 0$ liczba $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$.