6. Układy równań

Układ równań $\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 2x+0,5y=4\end{array}$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

Para liczb $x=2$ i $y=1$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{array}{l}x+ay=5\\ 2x-y=3\end{array}$, gdy

Układ równań $\{\begin{array}{l}y=-ax+2a\\ y=\frac{b}{3}x-2\end{array}$ nie ma rozwiązań dla

Układ równań $\{\begin{array}{l}2x-3y=5\\ -4x+6y=-10\end{array}$

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=b\end{array}$ z niewiadomymi $x$ i $y$ jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że

Rozważmy treść następującego zadania:

,,Obwód prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.''

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

Para liczb $x=2$ i $y=2$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{array}{l}ax+y=4\\ -2x+3y=2a\end{array}$ dla

Układ równań $\{\begin{array}{l}2x-y=2\\ x+my=1\end{array}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

Para liczb $x=1$, $y=-3$ spełnia układ równań $\{\begin{array}{l}x-y=a^2\\ (1+a)x-3y=-4a\end{array}$. Wtedy $a$ jest równe

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100-złotowych było dwa razy więcej niż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o 2 mniej niż 50-złotowych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Niech $x$ oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a $y$ – liczbę banknotów 20-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb $x$ i $y$ to

Dana jest liczba dwucyfrowa $a$, w której suma cyfr jest równa $14$. Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o $18$ mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr.

Oblicz liczbę $a$. Zapisz obliczenia.

Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była $30$ m. Długość każdego skoku psa jest równa $2$ m, długość każdego skoku lisa jest równa $1$ m. W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy.

Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa. Zapisz obliczenia.

Suma liczb rzeczywistych $a$ i $b$ równa jest $527$. Wiemy, że $8\%$ liczby $a$ jest równe $7,5\%$ liczby $b$.

Oblicz liczby $a$ i $b$. Zapisz obliczenia.

Zadanie sprawdza wymagania podstawy programowej z matematyki, które nie będą obowiązywały w pełnym zakresie na egzaminie maturalnym w roku 2027.

Rozwiąż układ równań $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x+4y-17=0\\ 2x-y-1=0\end{array}$

Zapisz obliczenia.

Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po $x$ zł za parę i 40 identycznych marynarek po $y$ zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cenę pary spodni $x$ oraz cenę marynarki $y$, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i w drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Dany jest prostokąt o bokach długości $a$ i $b$, gdzie $a>b$. Obwód tego prostokąta jest równy $30$. Jeden z boków prostokąta jest o $5$ krótszy od drugiego.

Wybierz dwie właściwe odpowiedzi. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:

Dany jest układ równań $\{\begin{array}{l}x-3y+5=0\\ 2x+y+3=0\end{array}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań $\{\begin{array}{l}x-2y=3\\ -4x+8y=-12\end{array}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań $\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ -4x-8y=-4\end{array}$

Para liczb $x=-1$ i $y=6$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{array}{l}ax+3y=20\\ x+by=5\end{array}$

gdzie $a$ oraz $b$ są liczbami rzeczywistymi. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $a\cdot b$ jest równa

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.

Właściciel restauracji kupił $75$ kilogramów pomidorów: $x$ kg pomidorów malinowych w cenie $11$ złotych za kilogram oraz $y$ kg pomidorów cherry w cenie $7,98$ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $752,52$ złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{array}{l}20x+20y=1\\ 26x-26y=1\end{array}$ jest para liczb: $x=x_0$, $y=y_0$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665$ zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest $198$. Gdyby w tym parku rosło o $18$ drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam $3$ razy więcej niż drzew iglastych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia: $x$ — liczba drzew iglastych, $y$ — liczba drzew liściastych. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew iglastych oraz liczby $y$ drzew liściastych, jest