1. Liczby

Dla $x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1$ oraz $y=\sqrt{2}-1$ wartość wyrażenia $x^2-2xy+y^2$ jest równa

Liczbę $\frac{224}{1111}$ można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego.

Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Równość $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1$ jest prawdziwa dla

Rozważamy przedziały liczbowe $(-\infty ,5)$ i $⟨-1,+\infty )$. Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?

Liczbę $a=(\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^2$ można zapisać w postaci $a=x+y\sqrt{14}$, gdzie $x\in \mathbb{Z}$ oraz $y\in \mathbb{Z}$.

Uzupełnij poniższe równości. Wpisz właściwe liczby w wykropkowanych miejscach.

$x=\dots$

$y=\dots$

Rozważmy takie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, które spełniają warunki:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$, spełniających powyższe warunki. Wynik podaj w postaci ułamka bez niewymierności w mianowniku.

Zapisz obliczenia.

Okres $T$ drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:

gdzie $l$ oznacza długość wahadła, a $g$ oznacza przyspieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyspieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi $g_Z=9,81{\text{m/s}}^2$, a przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi $g_K=1,62{\text{m/s}}^2$.

Oblicz $\frac{T_K}{T_Z}$ – stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do $0,01$.

Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $2024:\left(1-\frac{1}{2025}\right)-\left(1-\frac{2025}{2024}\right):\frac{1}{2024}$ jest równa

Która z podanych równości (A–D) jest prawdziwa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}$ jest równa

Dane są dwie liczby $x$ i $y$, takie, że iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{x+y}{x}$.

Wynik podaj w postaci $\frac{a+\sqrt{b}}{c}$, gdzie $a$, $b$, $c$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Dane są liczby $a=\sqrt{5}-2$ oraz $b=\sqrt{5}+2$.

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$ dla podanych $a$ i $b$.

Dana jest liczba $x=a-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2$, gdzie $a$ należy do zbioru liczb rzeczywistych.

W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ oraz $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$ są niewymierne.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.

Liczba $x$ jest wymierna dla

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba ${\left(\sqrt{32}-\sqrt{2}\right)}^2$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba ${\left(\sqrt{3}+1\right)}^2-\sqrt{12}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}$ jest równa

Liczby $x$ oraz $y$ są całkowite i dodatnie.
W wyniku dzielenia liczby $x$ przez liczbę $y$ otrzymano iloraz $20$ i resztę $26$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{x}{y}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt[3]{50}\cdot \sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot \sqrt{2}+2^{-1}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}$ jest równa